1 + 1 = 2 的一個證明，解說得還不錯。
基本上，國中三年級以上的同學可以試著看看。
放在這裡給各位看的原因是國中生學過幾何證明以後，
應該知道所謂的數學公理代表什麼意義以及公理的應用。
因此可以試著看看下面的證明方式。
沒有很難，只是看數學符號操作的時候，要看清楚作者是怎麼操作的，
也就是如何運用數學符號，搭配公理的性質完成證明程序。
https://buzzorange.com/techorange/2018/11/06/one-plus-one-equal-2/
【世上最簡單的公式】歷代數學家們怎麼解釋：為什麼 1 加 1 等於 2？
( 詳細的內容要麻煩各位點開連結，這邊放的是重要的部分摘錄。)
本文經授權轉自公眾號量子學派（ ID：quantumschool）本文作者：李卍
發現世界上最簡單的公式 1+1=2，意味著什麼？
這個連三歲小孩都能秒懂的公式是人類文明誕生的起點，
它昭示著自然數的誕生，引發持續數千年的數字大爆炸。
數學創生的全部基本公理都蘊含其中。
而它究竟從何而來，又將引領人類向何而去？
人生識字憂患始，人類的所有煩惱，也是不是因為知道了 1+1=2 呢？
人類開始注意到數學的「可加性」
早在 遠古時代，我們的老祖先就在儲藏獵物、分配食物時，逐漸產生對數的感覺。
當 2 隻 牛、 3 隻 羊、 5 隻 豬擺在一塊，只有這些東西可過冬時，強烈的求生欲使老祖先朦朧地意識到這其中有一種共性，並開始擺弄著自己僅有的 10 隻 手指計數。然而，從這種原始的抽象感覺到具體的「數」的概念的形成，卻經歷了極其漫長的歷史歲月。
因此，當某位古代先祖第一個意識到「 1+1=2」，從而認識到兩個數相加得到另一個確定的數時 ，就發現了「數學」一個非常重要的性質 ——可加性，這是人類文明史上一個極其偉大的時刻 。
如同鑽木取火， 1+1=2 的最初使用也僅是迫不得已地為了生存，兩者同樣至少有著 30 萬年的歷史，造福人類，但自然數的形成卻 遠比火的誕生有深遠影響。
1+1=2，關於這個公式，最直觀涉及到的就是自然數和加法。
我們已經無法考證，加法究竟是在何時被人類發明的，因為沒有足夠詳細的文獻記錄，甚至可能沒有文字。但加法的出現， 無疑是為了在交換商品或戰俘時進行運算 。
＋、－ 與自然數的出現
據說，當時酒商在售出酒後，曾用橫線標出酒桶里的存酒，而當桶里的酒又增加時，便用竪線條把原來畫的橫線划掉，於是就出現用以表示減少的「－」和用來表示增加的「＋」。 最後直到 1630 年，「＋」作為運算符號才得到大家的公認。
而關於自然數的出現，卻比「＋」、「－」開始地更早，大約在 1 萬年以前，冰河退卻了。石器時代，那些馬背上的遊牧狩獵者，在中東的山內悄悄地開始了一種新的生活。他們摒棄掉凶橫獵 殺的本性，開始乖乖下田，播種，進行農耕，這時，如何記錄日期、季節，如何計算收藏穀物數、種子數可難為住了這群四肢發達的壯漢。
特別是在尼羅河谷、底格里斯河與幼發拉底河流域，還發展起了更複 雜的農業社會，這群剛進入新時代的農民還遇到了交納租稅的問題。 顯然，過去石器部落文化里總結的 「一」、「二」、「三」、「多」已 遠遠不夠用了， 人們迫切需要「數」有名稱，而且計數必須更準確些。
然而，沒有人見過自然數，也沒有人知道它是怎麼排列分布的。
它是用以計量事物的件數或表示事物次序的數，它的分布或許是兜兜轉轉一個圈，或許是螺旋交錯纏繞式，或許是放射爆炸發散式的，不同選擇就會有不同的數學世界。
但 最終數學世界最後選擇的是 「1、2、3、4、5……」這樣一個不可逆的直線式的有序體系。
皮亞諾怎麼用五個理論生出：1+1=2
我們都知道 1+1=2，但你是否有想過為什麼 1+1 就等於 2 呢？
這個問題，不去深思還好，一深思就像雞生蛋還是蛋生雞這個難題一樣，會把你繞得雲里霧裡，好在總會有那麼幾位具有哲學思維的數學家愛孜孜不倦地去思考、證明它。
而在這其中， 意大利數學家皮亞諾用理論把自然數安放在了數學世界裡面，用五條公理建立了一階算術系統 ，可以用來推導出「1+1=2」這一數學世界的原點。
理論一 ：0 是自然數。
茫茫的數學宇宙里，如圖 所示，從此有了第一個身影存在 —— 0。
理論二 ：每一個確定的自然數 a，都有一個確定的後繼數 a’，a’ 也是自然數。
那麼，這個自然數起點「 0」是怎麼爆發的呢？後繼陪伴者會以什麼樣的形式出現？調皮地圍著 0 四處發散，或是偷偷地跑到 0 的後面，亦或是狠心地留 0 一個數在那？
理論二 做出了選擇，讓偌大的數學空間中，出現的每個數都擁有著一個確定的後繼數陪伴著自己，如圖 ：
理論三 ：0 不是任何自然數的後繼數。
為了避免後繼者不守規矩跑到 0 的跟前，公理 3 確定了 0 必須也只能是自然數的第一個數。但是防不勝防，這群後繼者可能也沒那麼安分，他們還可能因為同一個姑娘爭風吃醋。也就是說，有可能 3 的後繼數 3′ = 3，也可能 2 的後繼數 2′ = 3。如下圖 1-4，出現這種情況：
理論四： 為避免上述情況，公理 4 趕忙著出來定義，如果 n 與 m 均為自然數且 n ≠ m，那麼 n’ ≠ m’；如果 b、c 均為自然數，且 b’ = c’ ，那麼 b = c；同一個自然數的後繼數相等，不同自然數的後繼數不相等，這樣，3 就不可能既是 2 的後繼數，也是 3 的後繼數了。但如果出現圖裡 2.5 這樣的數呢？
為了除掉 2.5 這樣非自然數的出現，理論五出現了 。
理論五：假定 P（n）是自然數的一個性質，如果 P（0）是對的，
且假定 P（n）是正確的，則 P（n’）也是真的，那麼命題對所有自然數都為真。
它還有另外一種形式：設 S 是自然數集的一個子集，且滿足（ i）0 屬於 S；（ii）如果 n屬於 S，那麼 n’ 也屬於 S；則 S 是包含全體自然數的集合，即 S = N。
這裡的說法可能會有點「繞」，讀者可能不是很理解。
具體細剖，這是數學中的歸納公理，
也就是說如果有一個自然數的性質，
那麼所有自然數都將滿足這個性質，
不滿足的就不是自然數。
這樣，我們可以定義自然數系：
存在一個自然數系 N，稱其元素為自然數，
當且僅當這些元素滿足理論一至五 。
再定義加法是滿足以下兩種規則的運算：
1. 對於任意自然數 m，0 + m = m；
2. 對於任意自然數 m 和 n，n’ + m = (n + m)’。
這樣，我們就可以證明 1+1=2：
1 + 1 = 0′ + 1 = (0 +1)’ = 1′ = 2；
或者，1 + 1 = 0′ + 0′ = 0” = 2。
或者，因為 1+1 的後繼數是 1 的後繼數的後繼數，即 3；又因為 2 的後繼數也是 3，根據皮亞諾理論 4，不同自然數的後繼數不同，所以 1+1=2。
這樣，根據皮亞諾五個理論建立起來的皮亞諾一階算術系統，我們就推導出了 1+1=2。
用「哥德巴赫猜想」推導 1+1=2
另一個「（1+1）」
推導出 1+1 為什麼等於 2，並不能為難那些腦路清晰，異於常人的數學家們。怎麼解決世間另一個「1+1」，這才是這群數學家的心頭痛。
哥德巴赫猜想，是數學皇冠上一顆可望不可即的「明珠」，堪稱世界近代三大數學難題之一。
大概在 18 世紀左右，德國一富家子弟哥德巴赫，厭倦了錦衣玉食的生活，不顧家人阻攔，偏要跑去一名中學教師，還從此一發不可收拾地愛上數學，就連晚上回家休息，也在搗鼓著阿拉伯數字。而他生平最喜歡玩的遊戲竟是加法運算，而且還在玩加法遊戲的過程中發現了一個奧妙：任何大於 5 的奇數都是三個素數之和。
但令他無奈的是，他越玩越失敗，怎樣也無法證明自己的發現。後來，只能求助於當時數學界的權威大咖歐拉。
1742 年 6 月 7 日，哥德巴赫寫信給歐拉，提出：
任何大於 5 的奇數都是三個素數之和。隨便取個奇數 77，可寫成三個素數之和，77=53+17+7；
再任取一個奇數 461，461=449+7+5，也是三個素數之和，
461 還可以寫成 257+199+5，仍然是三個素數之和。
沒想到獨眼巨人歐拉居然也被這個問題給為難住了， 1742 年 6 月 30 日，歐拉給哥德巴赫回信：
這個命題看來是正確的，但是他也給不出嚴格的證明。
為了挽回下自己居然也給不出證明的面子，
狡猾的歐拉同時還提出了另一個等價命題：
任何一個大於 2的偶數都是兩個素數之和。
但這個命題他也沒能給予出證明。
而這樣一個「任一充分大的偶數，
都可以表示成為一個素因子個數不超過 a 個的數，
與另一個素因子不超過 b 個的數之和」命題，
就被統記作「 a+b」，哥德巴赫猜想（也稱哥德巴赫 –歐拉猜想），也就被稱為另一個「（1+1）」。
1、0 的神奇奧妙
在德國圖靈根著名的郭塔王宮圖書館，有一份彌足珍貴的手稿，它的標題為：
「1 與 0，一切數字的神奇淵源。這是造物的秘密美妙的典範，因為，一切無非都來自上帝。」
這是德國天才大師萊布尼茨的手跡，
他用幾頁異常精煉的描述，
發明瞭一個神奇美妙的數字系統 ——二進制，他告訴我們，1 + 1 ≠ 2，在電腦代碼世界里，1 + 1 = 10。
二進制是計算技術中廣泛採用的一種數制。
二進制數據是用 0 和 1 兩個數碼來表示的數。
它的基數為 2，進位規則是「逢二進一」，
借位規則是「借一當二」。
當前的電腦系統使用的基本上就是二進制系統，
數據在電腦中主要是以補碼的形式存儲的。
可以說，從 20 世紀第三次科技革命爆發以來，
人類就開始進入了電腦時代，我們在虛擬的網絡里遊戲、社交、狂歡。到現在 21 世紀，
開始致力於人工智慧的開發，而這些東西本質上都是由電腦實現的。
而未來，完全身處於數字時代的我們，必將被二進位程式碼全身籠罩，這個世界， 1+1 就只可能等於 2 嗎？
不管是現實生活中簡明易懂的 1 + 1 = 2，
或是數論世界里令人絞盡腦汁的「1 + 1」，
還是虛擬世界里的 1+1=10，
都以其自身的客觀性和普適性在時間的歲月里不證自明，
讓人類能以其為始，在接受這些公式和定理的條件下，
繼續用理性的方法推導衍生出萬事萬物。
並在萬事萬物中，能輕易地窺視其蹤跡。
欲罷不能的王者榮耀是由 0 和 1 的程式碼寫運行；
置放蘋果的天秤則完全滿足可加性的量；
總質量總是等於每個物體的質量之和；
1+1=2 撐起了人類理性世界的基本運轉，跨越人類文明始終，不需要名稱，不需要翻譯，也不需要解釋。
它無處不在，藏匿於天地之間，本身就擁有著妙不可言的美感。
本文轉自公眾號 量子學派——專注於自然科學領域（數理哲）的内容平台
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這個就當作數學科普讀物。有空欣賞一下，知道有這個故事。
https://pansci.asia/archives/167120
要證明 1+1 很難！至今無解的哥德巴赫猜想——《跟著網紅老師玩科學》
