orochisphinx wrote:
我的想法是:原本主角...(恕刪)
還是一樣吧
都是66.7%中獎率
個人是這樣覺得啦
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三道門是基礎型的題目...假設我把邏輯固定，但把題目"擴大化"(類似把數學問題微積分的取極限)，似乎就比較能理解...
假設主持台上有1000道門，後面有999隻羊，只有一台汽車...且主持人知道汽車在哪...
來賓（想得汽車）猜了一道門後，主持人須把有羊的998道門打開...之後，問來賓換不換？
依來賓的立場來說，因為他一開始猜中門後為羊的門機率極高(999/1000)，所以在開了998道門後，他只要換就能得到汽車...反之他一開始猜中的門其後面為車的機率極低...要不換而能得到車的情況，只有他一開始就猜中那1/1000的機會....
就是因為一開始就猜中車的機率極低，所以來賓的固定動作就是"換"，假使此遊戲玩1000次...因為開998道後有羊的門之前就猜中車的比例極低，經過"換"而把機率倒過來後，玩1000次，來賓依機率可得999輛車，一隻羊.... ...各位懂我意思嗎？
可用第三者（非主持人也非來賓）的角度來看，假使主持人一次開998道門後來賓一定會換，因來賓開門前所猜的那一次就能猜中車的機率1000次中只有一次，所以來賓在固定換的情況下由車而換到羊的機率也極低(1/1000)
再把問題擴大，假設有1000萬道門，來賓猜完後，主持人有羊的開999萬9998有羊的門打開，只剩一個有羊的和一個有車的兩個門.... ....靠...除非來賓一開始即猜中門後有車的那道門...幾乎不就告訴來賓"換"必得車...
現在由N=1000萬，慢慢開始讓N減少但遊戲邏輯不變，即來賓猜完後，主持人只留最後兩道門（一羊一車）....N-1, N-2, N-3...........N趨近於三，最後N=3.... ...邏輯同，來賓還是得"換"才比較好.......故得證...
N無限大時"換"得車的機率幾乎等於100%即（∞-1)/∞....隨著N減小到三，"換"得車的機率會漸近線趨近並收斂(N=3時)於66.7%即(3-1)/3
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morris125 wrote:
片中教授問主角一個問...(恕刪)
我知道這個問題已經很久了
但還是忍不住來發表解法
我是用條件機率來解的
首先複習一下條件機率
P(A|B)=P(A ∩ B ) / P(B)
在來定義一下各個事件
三個門，A, B,C
P(A): A門中獎機率=1/3
P(B): B門中獎機率=1/3
P(C): C門中獎機率=1/3
T: 在猜謎人猜了一個門後，主持人開另外兩個門的其中一門
P(T)=1/2
P(A|T): 在猜謎人猜了一個門後，主持人開另外兩個門的其中一門的條件下，A門中獎機率
=P(A ∩ T ) / P(T) = (1/3 x 1/2) / (1/2) = 1/3
[A ∩ T 此時為獨立事件，猜謎人選A門跟主持人開另外兩個門的其中一門無關， 即P(A ∩ T ) =P(A)xP(T)]
P(A'|T):在猜謎人猜了A門後，主持人開另外兩個門的其中一門的條件下，猜謎人換門中獎機率
Solution1:
P(A'|T)=1-P(A|T)=2/3
Solution2:
P(A'|T)=P(A' ∩ T ) / P(T) = (1/3) / (1/2) = 2/3
[A' ∩ T 此時為猜謎人選A, 跟主持人開另外兩個門的其中一門後，另一門中獎的事件， 即P(A' ∩ T ) =1/3]
Ans:
由於P(A'|T)=2/3 > P(A|T)=1/3
因此猜謎人在猜了一個門後，主持人開另外兩個門的其中一門之後, 選擇換門
