我朋友問了我一題
F﹝X﹞=X^5-2015=0
證明只有一個實數解
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1.先證存在性。
F(0)= -2015 <0, F(2015)= 2015^5-2015 >0
由勘根定理，F(X)=0 在區間(0,2015)有實數解。
這部分也可這樣證明:
由於 X^5-2015=0 是實係數奇次多項方程式，故必有實數解。(由虛根成共軛對性質)
2.再證唯一性。
若F(x)=0，且x是實數，則必然 x>0。
若正數 a,b 皆為F(X)=0的實數解，即
a^5-2015=0...(1)
b^5-2015=0...(2)
(1)-(2)得
a^5-b^5=0，即
(a-b)(a^4+a^3*b+a^2*b^2+a*b^3+b^4)=0 ("*"表相乘)
由於後面括號內之式>0，故
a-b=0，即 a=b
綜上，F(X)=X^5-2015=0 只有一個實數解。
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