有理數 的 " 有理 " 是什麼意思？ ( 數學翻譯名詞的休閒讀物 )

( 數學翻譯名詞的休閒讀物，內容還不錯。 )

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有理數 的 有理 是什麼意思？

首頁 > 教育時間 2021-05-06

1樓：Chenxing Li

【有理數/無理數】的定義：
可以/無法用整數相除（p/q）的【比例】方式表達的數字。
然而，比例為什麼要用【理】 字呢？

追根溯源，首先要由發現【無理數】概念的古希臘人來背鍋：

在古希臘語中，描述無理數的形容詞【λογο】(alogos) 是個多義詞：
既可表示 ”缺乏理性“ 又可表示 ”無法表達“。
（ λογο 的詞源 λγω 是動詞 ”說話“，同時隱含 “理性” 之意。

對古希臘人來說，人類會說話/具有理性，動物不會說話/缺乏理性。）

接下來翻譯背鍋：
後來 λογο 被翻譯成拉丁語【irrationalis】，僅片面對應 ”缺乏理性“ 詞意。

拉丁語又演變進入英語 (irrational)、法語 (irrationnel)、德語 (irrational) 等語言，
通常詞意仍然是 ”缺乏理性“，只在描述無理數時才隱含 ”比例“ 含義。

澄清一個通常誤解：
英語 rational 的拉丁詞根【ratio】最初並沒有 ”比例“ 含義，而是表示 “思考/計算”。
後來 ratio 英語詞意轉為 “比例”，反而是來自 rational 的數學含義。

最終，漢字地區（中國/日本）描述無理數時使用的【理】字，
無論來自希臘原文或其他歐洲語言譯本，都與最初的多義詞脫不開關係。

【λογο】：無法（整數比例）表達

在發現無理數概念之前，普通數字就是數字，無所謂有理無理。

如同發明電子郵件之前，普通郵件就是郵件，無所謂紙質電子。

古希臘人最初認為，度量世間萬物的數字要麼是【整數】，
要麼可以用【整數的比例】來表達。

直到某位數學天才出現，證明了 “單位正方形的對角線長度（）無法用整數比例表達“。

可惡！
這種長度如何命名呢？歐幾里得在《幾何原本》中使用的形容詞正是λογο(alogos)。

雖然古希臘語 λογο 具有多重詞意；

但在現代希臘語中，
無理數的形容詞ρρητο(arretos) 並不是多義詞，字面含義只有【無法表達】：

unsayable number = 無法（整數比例）表達的數字

2樓：知道不知道

有理就是特別有道理，有理數都能表示為兩個整數的比，多麼和諧，多麼完美；

但是有一天，有個人發現正方形的對角線死活不能表示成整數的比，
當他把這個發現告訴他的夥伴們時，他們的完美世界崩塌了，
於是就沒有道理的把這人扔進了河裡，假裝不知道，
這就是 ，無理數的誕生就是這麼無理。

不可公度，就是正方形的對角線和邊找不到一個公共的單位長度，
使得對角線和邊能表示成這個單位長度的整數倍。

3樓：

定義已經給的明明白白了，就是取個名字而已。
與其倒過來搞“顧名思義”鑽牛角尖，不如買兩本小學口算練習冊在家做做分數運算。
既安全又打發時間，指不定還能漲知識。

附：今天看書時發現，“無理數”這個翻譯並不一定是中國從日文翻譯繼承來的。
清朝華蘅芳翻譯《代數術》時就用的這個翻譯。

至於中國後來的著作用這個詞是學的華蘅芳還是學的日本，我就不清楚了。

4樓：科學闢謠

“有理數”是合理的嗎？

https://www /video/1202232417102282752

提問：“有理數”是合理的嗎？

劉歆：“有理數”包括整數、有限小數和無限迴圈小數。
與它對應的無限不迴圈小數，比如我們熟悉的π被稱為無理數，
大家有沒有考慮過，我們為什麼這麼稱這兩類數呢。

因為在英文中，有理數是rational number，無理數是irrational number，
rational這個單詞它的意思是理性的，對應的irrational就是不理性的，
但是我們發現有理數的三類，整數、有限小數和無限迴圈小數都可以寫成分數的形式，
而無限不迴圈小數是不能表示成分數形式的。

另一方面，
我們發現，rational這個單詞的詞根，ration含義是配比，對應的形容詞詞性就是可比的，
我們認為把有理數翻譯成“可比數”，把無理數翻譯成“不可比數”更為合理。

5樓：羥基氧

「有理」「無理」的用法當追溯到歐幾里得《幾何原本》。

《原本》卷10定義3中區分了ητ線和λογο線，即有理線段和無理線段。

ητ本意為「確定的、可言說的、可表達的」，
λογο是λγο加上了否定字首α-形成的形容詞。
λγο在《原本》作名詞「比例」用，但該名詞還有「言語；原因；計算」等含義。

因此「有理」當最終產生於λγο，其含義按照現代的概念可以表達為：
可以表達為兩整數之比的數。 （這一闡釋既體現了λγο又體現了ητ的含義）

《幾何原本》蘭紀正、朱恩寬譯，陝西科學技術出版社，2003

英語rational當是來自拉丁語形容詞rationalis（有賬的；有原因的），
來自拉丁語名詞ratio（計算；關聯；原因等）。

總之，英語術語ratio/rational/irrational來自拉丁語術語ratio/rationalis/irrationalis，
而後者又是對古希臘語術語的翻譯，應當是直譯（ratio和λγο同有「原因」之意），
並且為了術語統一性，ητ不採取直譯而是取λογο的反義對譯。

故「有理」當是誤解了λγο/rational的含義而產生的譯文，
其本應該譯為「有比例」，中國數學家在從拉丁語轉譯《原本》時曾正確翻譯這一術語。
樓上已指出這一誤譯可能取自日語：「有理數」的「有理」是什麼意思？

徐光啟與利瑪竇曾譯出《原本》前6卷。
後來李善蘭與偉烈亞力補譯剩餘《原本》，對於卷10的有理無理概念，李善蘭譯文如下：

幾何原本第十卷上之首英國偉烈亞力口譯，海甯李善蘭筆受界說十一則

……
第五界準上四說凡線有無窮相與有等及無等線或長短及正方俱有等或僅正方有等或俱無等原線謂之有比例線

第六界他線與此線或長短正方俱有等或僅正方有等亦謂之有比例線

第七界與此線長短及正方俱無等則謂之無比例線

第八界有比例線之正方謂之有比例面

第九界他面與此正方有等亦謂之有比例面

第十界與此正方無等則謂之無比例面

說明古人正確地將兩個概念譯為「有比例」和「無比例」。

雖然徐譯本正確地將λγο譯為「比例」，但是他卻把比值譯作「理」：

第四界兩比例之理相似，為同理之比例。

兩幾何相比，謂之比例。
兩比例相比，謂之同理之比例。
如甲與乙兩幾何之比例偕丙與丁兩幾何之比例，其理相似，為同理之比例。

又若戊與己兩幾何之比例偕己與庚兩幾何之比例，其理相似，亦同理之比例。

［意］利瑪竇、［明］徐光啟譯，周振鶴主編：《幾何原本第五卷之首界説十九則》，
鳳凰出版社，2013年12月，第1版，第698-699頁。

說明由於術語的缺乏，古人也曾將取λγο/ratio的別意將「比值」稱為「理」。

徐譯本雖然沒有譯到第十卷，
但是他在譯《原本》卷5時提到了有理無理的概念，稱為「大合」和「小合」。

第三界比例者，兩幾何以幾何相比之理。

兩幾何者，或兩數，或兩綫，或兩面，或兩體，各以同類大小相比，謂之比例。

凡比例有二種：
有大合，有小合。以數可明者，為大合，如二十尺之綫比十尺之綫是也。
其非數可明者，為小合，如直角方形之兩邊與其對角綫可以相比，而非數可明者是也。

如上二種，又有二名。其大合，為有兩度之。
如二十尺比八尺，兩綫為大合，則二尺、四尺皆可兩度之者是也。

如此之類，凡數之比例，皆大合也。何者？有數之屬，或無他數可兩度者，無有一數不可兩度者。

若七比九，無他數可兩度之，以一則可兩度之也。其小合綫，為無兩度之綫，如直角方形之兩邊與其對角綫為小合，即分至萬分以及無數，終無小綫可以盡分、能度兩率者是也。此論詳見十卷末題。

［意］利瑪竇、［明］徐光啟譯，周振鶴主編：《幾何原本第五卷之首界説十九則》，
鳳凰出版社，2013年12月，第1版，第693-694頁。

羥基氧：
“無理數”還是“無比例數”？——《幾何原本》原文、古代漢譯本中的λογο/irratio翻譯探源

6樓：白雲龍

有理數、無理數的翻譯取自日語的“有理數「ゆうりすう」”和“無理數「むりすう」”。

這兩個詞就字面意思而言，中日完全是互通的，不存在照搬日文造成的偏差。

而且，
事實上日本人也搞不懂為啥要翻譯成“有理數”和“無理數”，
也存在把無理數當成“不合理的數”的人，所以很多人都認為這翻譯有毛病……

https://ja.wikipedia.org/wiki/有理數

https://ja.wikipedia.org/wiki/無理數

給不方便看的人截個圖

大致翻譯：rational number原意為“可表示為二（整）數之比的數”，
因此有不少人認為翻譯為“有比數”更合適。

稍微解釋一下的話，就是英語裡rational這個詞是由ratio這個詞引申出來的。

但一般而言，ratio是指“比例”，而rational卻是指“合理的”。

結果rational number就被直接翻譯成了“合理的數”也就是“有理數”……

但是從原本應當表達的意思和構詞法上來看的話，
rational在這裡實際表示的是“可比的”、“可以表示為比例的”的意思，
因此rational number實際應當翻譯為“有比數”，“可比數”之類。

換句話說，這個“有理數”、“無理數”大概率是當年日本數學家翻譯的時候出問題了……

和計算機裡的default翻譯成“預設”類似……

7樓：南中國海的一條魚

隱約記得自己看過一本故事集，叫《數學童話》，其中一個的故事情節是：
一個叫小毅的小朋友聽到外面砰砰啪啪的槍聲，發現有理數和無理數正在打仗。
這場戰爭是無理數軍向有理數軍宣戰，旨在為自己一方更名。

無理數一方認為“無理數”這個名字不好聽，
好像它們的存在毫無道理似的，因此希望自己的所屬更名為“非比數”而對方更名為“比數”。

以下為個人見解，僅供參考：

我們可以把“理”理解成迴圈節，即有理數是有迴圈節的數，
而無理數是無迴圈節的數。

有理數中的有限小數，按一定原理也可以寫成無限迴圈小數。

我們知道，
我們可以把“理”理解成是否可以表示成兩個整數之比，
這也就是本回答開頭提到的那個故事，考慮把有理數改叫做“比數”，
而無理數改叫做“非比數”。

曾經還真有人認為無理數是“無理”的，以至於認為無理數根本不存在。
這個人就是畢達哥拉斯。勾股定理在西方語言中稱作畢達哥拉斯定理，是
因為“勾股”極難譯成西方國家語言的單詞。

畢達哥拉斯認為，所有的數都等於兩個數之比（設全體數集為 ） ．

自然數可以通過馮·諾依曼數序集，通過定義集合元素個數得到。
分數，負有理數均可以通過自然數的有限次四則運算得到。
但無理數無法通過自然數的有限次四則運算得到。



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維基百科的解釋，摘錄重要的部分。

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理數

詞源

有理數在英文中稱作rational number，來自拉丁語rationalis，意為理性的；
詞根ratio，拉丁語意為理性、計算。[1]

代表「比例」的英文ratio一詞在歷史上出現得要比有理數（rational number）一詞更晚，
前者最早有記錄是1660，而後者是1570年。[2][3]


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同場加映 " 實數系的完備性 "

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_01_3_06/index.html

實數的完備性

楊維哲



實數的完備性在教學上是有些麻煩， 這是相當「概念」的東西；
今天講這個題目是因為這裡面有些要注意的小地方， 提出來供大家參考。

在小時候我們學數系都從數手指頭開始， 這就是自然數系，
在自然數系 N 之後，有正有理數系（分數）， 然後推廣到負數，
因此有了整數全體，從整數再推廣就是所有的有理數， 這要如何介紹呢？

一開始先有自然數，然後有分數，分數就是因為除不盡而產生的，
也可說是為了要解如 5x=3 的方程式而產生，
負數的出現是因為要解如 x+7= 的方程式， 亦即是要作 2-7=-5 的運算，
因為要使運算成為可能就必須慢慢地把數系擴展， 不擴展就沒有辦法，
這是發展整個數系的一個動機。

在運算上，從加減乘除一直做到有理數就完備了，
因為加減乘除在有理數中都可以自由運算下去。

再下去的說法，大家都曉得。

「為什麼會出現 R 是因為 x2 =2 這個方程式在有理數系中沒有解，
可見有理數系是不夠用的，所以出現了無理數」；
當然也因為 x2+1 在實數系中不夠解，所以出現了 i ，因此我們可以擴展到複數系。

在從 N 擴展到有理數系 Q 是為了要使四則運算不受限制，解方程式是一個很重要的主題。
但由 Q 再擴展下去是否還是為了解方程式的理由？

我先強調這一點：

無理數的出現，不只是為了代數上的動機，其實在數學上還有其他種種理由配合起來的。

在初中，你可能用純粹代數的理由來擴展數系， 到了高中就不是了！

到了高中，擴大數學的題材，研究種種的函數，
如三角函數，指數、對數函數……等，
這是一個主題：但在高中，還有一個重要的主題，即解析幾何，
我的意思不是項武義、黃武雄的向量 (Vector) 幾何，這不太合乎原來解析幾何的意思。

真正的解析幾何是笛卡爾與費馬所發明的座標幾何：
用座標的方法來做幾何問題，所有幾何問題都用座標來解。
他們這個辦法與今天所談的題目有密切的關係，它是數與圖形的配合， 就是代數與幾何結合在一起。

在平面解析幾何中用兩個數 (x,y) 來表一點， 立體解析幾何用三個數 (x,y,z) 來代表一點，
將來可以推廣到 n 維空間，但最基本的還是在一維空間的圖形，
即一直線上的座標化，
因為兩維、三維……均可類推， 這一維空間的情形牽涉很廣，
如測量問題，即幾何與代數的聯繫，
這非常重要，它與實數的完備性有密切的關係，

在數學史上量長度與座標化是在直線上取 0 為原點， 1 為單位長，
我們就可以在直線上點出 2、3……還有「幾分之幾」。

直線開始座標化，點與數一一對應起來， 這個理論一直到費馬與笛卡爾時才真正用上去，開始發揮起來，
才大規模地建立解析幾何，古時候是沒有解析幾何的。

可是在古時候，座標化的概念是有一些，但不明確。

主要是在測量幾何的度量問題，我們用尺，有刻度，量多少就是多少，
但尺的刻度是怎麼來的？
這就是度量的理論， 原則上這是用比較的方法，
剛開始，古時候的人，祇會用尺做單位， 一尺一尺去量，這就是說整數都可以量，
但是如果「比 7 尺多，比 8 尺少」 他們就不會量了，
但慢慢的他們就知道刻度，用幾尺幾寸慢慢的刻，
這是比例的關係，用作平行線的方法來刻，
這與平面幾何有密切的關係， 希臘人都很清楚，
所以有相似形的概念來作比較。

當單位取定後， 所有有理數都可以表達出來，尺寸都是十進位，
但也可以用 12 進位，如 1 英尺 =12 英寸或其他進位，
用這個辦法，大致來說數與點的對應可做到一個程度。

這裡順便提到希臘幾何作圖的三大難題： 倍立方體（作一立方體使體積為原來的兩倍）， 方圓問題（作一正方形使其面積等於一圓之面積）， 一般角三等分。希臘人用沒有刻度的直尺和圓規， 以有限次的步驟去刻出有理數所對應的點（有理點），因此使用規矩， 藉著比例、相似的概念，就可以作加減乘除的四則問題。 在直線上所刻劃的有理點與有理點之間還有密密麻麻的有理點， 這就是有理數的稠密性；但現在還有一個問題， 就是在直線上除了能刻劃的有理點之外是否還有其他的點存在？ （這問題很抽象，也不很實在，因為物理上的點都有寬度！）， 不過，有理點並未填滿數線,也就是說：所有有理點並不能構成直線， 像剛剛提到的 $\sqrt{2}$ ， 我們可看成：有一個數 x 是正的，且滿足 x2 =2， 這 $\sqrt{2}$ 希臘人都知道它不是正有理數， 理論上這是一個無理點，但它是否存在，當時是有疑問的。 這一直到畢達哥拉斯發現了畢氏定理時， 才確定了定了無理數的存在。實際上用圓規直尺就可以用來開方， 因此從自然數出發，用直尺圓規，可以作出很多的數來， 這些數都叫做規矩數 (constructible number)。

古希臘的三個難題：「倍立方體」本質上是開立方，在代數的眼光看來是解 x3 =2 ;方圓問題在代數上是解 $\pi r^2 = a^2$， 本質上是討論 $\sqrt{\pi}$，π 在一世紀之前已被證明是一個超越數； 「一般角之三等分」本質上是解一元三次方程式，將所予角看成 $3 \theta$， 解 $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4\sin\theta^3$， 在代數上等於解 3x-4x3 =a 我們可以用卡丹 (Cardano) 公式解出來，本質上是要開立方，我們可以發現這個問題所解出來的數， 是用規矩所作不出來的！這就是說規矩數在數線上並不完備。

前面說過：「從小學到初中；都是用代數的眼光，為了解方程式才擴展數系」， 但是由 Q 擴展到 R；如果說是為了解 x2 =2 這個理由是相當牽強的。且讓我們說明如下：

設 $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots \cdots + a_n =0$ 為一有理係數方程式，我們可以用通分的辦法使它變為整係數方程式， 整係數方程式的根叫做代數數 (Algebraic number)， 用 A 表代數數全體，如果以代數數作係數的方程式的根， 有不在 A 中的，則 A 必須擴展至 A1， 以 A1 之數為係數作方程式，如仍有根不在 A1 中， 則必須再擴展至 A2，如此下去將得： A 真包含於 A1, A1 真包含於 A2,…，可是事實上代數數系 A 就已完備了， 即： A = A1，換句話說，代數係數方程式的根都是代數數， 這就是代數數的完備性。所以，如果說是為了代數的理由而發展數系， 應該是由 Q 擴展到 A；但事實上 $i \in \mathbf{A}$ 而 $i \not\in \mathbf{R}$； $\pi \in \mathbf{R}$ 而 $\pi \not\in \mathbf{A}$；所以 $\mathbf{A} \not\subset \mathbf{R}$， 且 $\mathbf{R} \not\subset \mathbf{A}$，因此，認為 Q 到 R 的擴張是為了代數的理由的說法並不恰當。

由有理數系擴至實數系這是為分析的理由！ 在高深的數學中，說明完備性有很多的辦法，最主要的一種說法，最合乎直覺的，就是用解析幾何的數與點的對應，將所有的有理點點在數線上，此外還有很多的點叫無理點，還要將它們加入，這樣才會得到 R，也就是說， 有理點在數線上雖然密密麻麻，但不構成全部的數線， 必須把「漏洞」補起來，才會得到 R 進一步的數學。 還有別的種種說法，如狄悌鏗分割 (Dedekind Cut)， 它把有理數，分成兩個集 A,B， $A \cup B = \mathbf{Q}$， $A \neq \emptyset$， $ B \neq \emptyset$，且 $A \cap B = \emptyset$，使 $x \in A$， $y \in B \Longrightarrow x<y$ 我們可以想像有以下四種可能：="" (1)="" a="" 中有最大（元素），b="" 中有最小（元素）="" (2)="" 中沒有最小（元素）="" (3)="" 中沒有最大（元素），b="" (4)="" 在有理數中，情形(1)是不會發生的，其他三種均有存在之可能。="" 如果="" cut（分割）出(4)的情形，即="" 中沒有最大，="" b="" 中沒有最小，在="" dedekind="" 看來這就是一個缺陷="" (gap)，="" 不完備性就是指這一點，dedekind="" 理論就是由此出發，="" 分割到有缺陷，就補上一點，如此下去將所有缺陷都補起來，="" 這就得到了="" r，這麼一來，可從="" q="" 擴展至="" r，r="" 本身就完備了，="" 這是實數系的完備性，也就是說我們對實數系作分割，="" 一定沒有剛剛的缺陷，也就是「a="" 中沒有最大，b="" 中沒有最小」="" 這種情形是不存在的。「a="" 中有最大，b="" 中沒有最小」，="" 「a="" 中有最小」，兩者必居其一。="" 當然實數系的完備性還有種種說法；="" 假設="" <xn=""> 是一個遞增的有理數列， $ x_n \leq x_{n+1}$。 而且有上界，那麼 <xn> 一定有極限， 這個說法與 Dedekind Cut 有密切的關連， 也就是這個極限如果不是有理數，就要補上去這一點。 我可以介紹一本我寫的《何謂實數》（商務出版）， 這裏面對實數的完備性有各種各樣說法，我們學實數的完備性是學微積分的基礎。 譬如說在討論函數性質時，最重要的就是函數是否連續， 連續性的意思是：若 $x_n \longrightarrow \alpha$ 則 $f(x_n) \longrightarrow f(\alpha)$。 實數的完備性使函數的連續性更有意義！ 有一個性質「若 f 在 [a,b] 上連續， 則上一定有最大值與最小值」，要證明這個性質， 一定要用到實數的完備性。如果函數 $f(x) = (x-\sqrt[3]{2})^2$ 的自變數僅限於有理數中， 照理 f 的最小值為 0，也就是必須有一個無理數 $c = \sqrt[3]{3}$ 的存在， 但在有理數系是沒有完備性的，所以 f 是沒有最小值的。</xn></y$>


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這篇科普寫得也不錯，有興趣的網友可以用閒暇時間看看的。

https://zunnve.com/humanity/150040.html
為什麼數系會按照自然數的運算過渡到整數和有理數產生？